متن تحقیق

برگرفته از درس‌گفتارهای شرح منظومه آیت‌الله محمدرضا نکونام قدس‌سره

بخش نخست: برهان سلمي و بررسی تاريخي و فلسفي آن

در اين مباحثه ژرف درباره تناهي و عدم تناهي ابعاد، که از مهم‌ترين مسائل فلسفي به شمار مي‌رود، بايد با دقت فراوان گام برداشت و مراتب گوناگون آن را مورد کاوش قرار داد. نخستين سخن آن است که مقصود از متناهي و غير متناهي چيست. اشياء را مي‌توان به چهار قسم تقسيم کرد:

۱. اشياء موجود بالفعل و مترتب.

۲. اشياء موجود بالفعل ولي غير مترتب.

۳. اشياء غير موجود بالفعل، بلکه ذهني، همراه با ترتب.

۴. اشياء غير موجود بالفعل و غير مترتب.

آنچه مورد بطلان است و مي‌خواهيم آن را نفي کنيم، قسم نخست است؛ يعني نمي‌خواهيم بپذيريم که موجودي بالفعل و مترتب باشد که لايتناهي‌هاي آن نيز بالفعل موجود باشند. در عالم خارج، موجود مترتب بالفعل با وصف وجود، فعليت و ترتب همزمان ممکن نيست.

اين نفي دو جهت دارد: يکي در سلسله علت و معلول، که به بطلان تسلسل بازمي‌گردد؛ و ديگري در ابعاد، که به بطلان ابعاد غير متناهي مي‌انجامد. بنابراين، تناهي ابعاد با ادله متعدد اثبات مي‌شود.

برهان نخست: برهان سلمي (نردباني)

برهان نخست که مرحوم حاجي ذکر کرده‌اند، به برهان سلمي معروف است. اين برهان سرنوشتي پر فراز و نشيب داشته و بايد به روشني دريافت شود تا پختگي آن آشکار گردد.

قدما اين برهان را چنين بيان کرده‌اند: اگر مثلثي قائم‌الزاويه يا منفرجه بگيريم و دو ضلع آن را آن‌قدر امتداد دهيم که لايتناهي شوند، سپس بين دو ضلع، سطحي نامتناهي پديد مي‌آيد که محصور بين حاصرين (دو خط لايتناهي و وترها) است. اين جمع بين غير متناهي (سطح) و متناهي (محصوريت) تناقض است.

اشکال شيخ الرئيس ابن‌سينا بر قدما

شيخ الرئيس به اين استدلال اشکال وارد کرد و فرمود: هر افزوده‌اي بر متناهي، خود متناهي است؛ زيرا مازاد علي المتناهي بقدر متناهي، متناهي مي‌ماند. اين اشکال در اشارات و طبيعيات شفاء آمده و صحيح است.

تقرير اصلاح‌شده شيخ با چهار شرط

سپس خود شيخ برهان را با چهار شرط اصلاح کرد تا تمام شود:

۱. نخست بايد بعد اصلي متناهي را متحقق کرد (مثلاً وتر اول را بسته و متناهي فرض کنيم).

۲. تمام زيادت‌ها (وترهاي بعدي) بالفعل موجود باشند.

۳. زيادت‌ها با تزايد يا تساوي باشند، نه تناقص (يعني هر وتر بعدي مساوي يا بزرگ‌تر از قبلي باشد؛ زيرا اگر کوچکتر باشد، مي‌توان لايتناهي وتر را در فضاي متناهي جا داد).

۴. تمام زيادت‌هاي قبلي در مثلث بعدي موجود باشند (يعني هر مثلث جديد، شامل تمام مثلث‌هاي پيشين به علاوه افزوده خود باشد؛ همچون مجموعه‌اي تو در تو).

با اين شروط، هنگامي که ابعاد لايتناهي فرض شوند، وتر آخر (لايتناهي) تمام وترهاي قبلي را بالفعل در بر مي‌گيرد؛ پس يک مثلث لايتناهي بالفعل پديد مي‌آيد که محصور بين حاصرين است و اين تناقض است.

اشکالات بعدي و دفاع از تقرير شيخ

صاحب محاکمات دو اشکال بر تقرير شيخ وارد کرده که پاسخ داده شده است. فخر رازي نيز اشکالي مطرح نموده که آن نيز مردود است. حق با ابن‌سينا است؛ اگر برهان با اين شروط پيش رود، ابعاد لايتناهي بالفعل ممتنع مي‌گردد.

اگر زيادت‌ها را کنار هم بکشيم (نه تو در تو)، همان اشکال قدما تکرار مي‌شود و تناقض حاصل نمي‌آيد؛ اما با ساختار نردباني تو در تو، يک واحد لايتناهي محصور در متناهي پديد مي‌آيد.

جمع‌بندی بخش

برهان سلمي با تقرير ابن‌سينا، دليلي قاطع بر تناهي ابعاد در عالم خارج است و تصور ابعاد لايتناهي بالفعل را باطل مي‌سازد؛ همچون نردباني که هر پله‌اي پيشينيان را در خود دارد و به بي‌نهايت نمي‌رسد بدون تناقض.